Brojevni sustavi

• 
• Ivan Mišić
  30.04.2010
  7 Komentara
• 
  Tweet
• HD preporuke |

Jedan od prvih sustava u svijetu bio je hijeroglifski brojevni sustav, koji je nastao u Egiptu (3000 – 2500) godina prije Krista, a bio je desetinski (dekadski) i ne pozicijski. Kasnije se javlja i prvi oblik pozicijskog brojevnog sustava koji su izmislili Babilonci oko 2000 godine prije Krista. Njihov pozicijski brojevni sustav imao je bazu šezdeset, ali jedini nedostatak toga sustava je bilo što nije imao nulu, što je, naravno stvaralo teškoće pri raznim operacijama s brojevima.

Današnji „moderan“ pozicijski brojevni sustav stvorili su Indijci, a bio je to brojevni sustav s bazom deset i nulom kao znakom (znamenkom) toga sustava. Taj su brojevni sustav na naše prostore donijeli Turci, prilikom ratnih pohoda na daleke zemlje istoka (Indije). Hrvati su imali svoj vlastiti brojevni sustav i to na bazi glagoljice

2. Brojevni sustavi

Sastoje se od:

• skupa znakova (znamenaka)
• pravila za pisanje tih znakova (znamenaka)

Dijele se na:

1. pozicijske brojevne sustave:
   • decimalni brojevni sustav
   • binarni brojevni sustav
   • oktalni brojevni sustav
   • heksadecimalni brojevni sustav
2. ne pozicijske brojevne sustave:
   • sustav rimskih brojeva
3. mješoviti brojevni sustave:
   • babilonski brojevni sustav
   • rezidualni brojevni sustav (RBS)

2.1. Pozicijski i nepozicijski brojevni sustavi

2.1.1. Nepozicijski brojevni sustavi

Nepozicijski brojevni sustavi su oni kod kojih značenje pojedinog znaka (znamenke) ne ovisi o položaju u zapisanom broju, ali oni imaju nekoliko nedostataka:

• obavljanje aritmetičkih operacija je složeno
• za zapisivanje većih brojeva moraju se uvoditi novi znakovi

Najpoznatiji nepozicijski brojevni sustav je sustav rimskih brojeva

On se sastoji od sljedećih znamenaka:

Pravila za zapisivanje tih znamenaka su:

• ako se nekoliko jednakih znamenaka nađe jedna uz drugu, onda se vrijednosti tih znamenaka zbrajaju (npr. CCC = C + C + C, odnosno 300), a najviše ih stoji tri
• ako uzastopno stoje zapisane dvije različite znamenke od kojih je ona lijeva veće vrijednosti, onda se njihove vrijednosti zbrajaju (npr. LX = L + X, odnosno 60)
• ako uzastopno stoje zapisane dvije različite znamenke od kojih je ona lijeva manje vrijednosti, onda se njihove vrijednosti oduzimaju tako da se lijeva manje vrijednosti oduzme od desne veće vrijednosti (npr. XL = L – X, odnosno 40)

Primjeri:

2.1.2. Pozicijski brojevni sustavi

Pozicijski brojevni sustavi su oni kod kojih vrijednost zapisanih znamenaka ovisi o položaju u zapisanom broju. Svaki pozicijski brojevni sustav ima svoju bazu, znamenkei najveći element.Pozicijski brojevni sustavi imaju ograničen broj znamenaka (broj znamenaka određuje bazu sustava), a baza pozicijskog brojevnog sustava može biti bilo koji broj. Uz dekadski najpoznatiji pozicijski brojevni sustavi su binarni, oktalni, heksadekadski i RBS (zbog svoje primjene u informatici i važnosti za rad računala)

Tablica baza, znamenaka i najvećih elemenata najpoznatijih brojevnih sustava

Različiti načini zapisivanja prirodnih brojeva u brojevnim sustavima

2.2. Binarni brojevni sustav

Binarni brojevni sustav predstavlja brojevni sustav s bazom 2, što znači da se u tom sustavu koriste samo dvije znamenke i to: {0 i 1}. To je sustav pomoću kojega rade računala, zbog toga što je najjednostavniji, jer ima 2 „stanja“ 0 ili 1, odnosno:

Potencije baze broja 2, nazivaju se težineili težinski faktori(…2³,2²,2¹,2⁰…). Binarni kao i dekadski sustav ima nazive za pojedine znamenke po njihovim težinamanpr.:

Vrijednost brojajednaka je zbroju svih mjesnih vrijednosti, odnosno težinskih faktora u kojima je zapisana znamenka 1, a one u kojima je zapisana znamenka 0 preskočimo, jer je 0 • n = 0.

Brojevna mjestajednaka su eksponentima baze, pa ih stoga nazivamo:

1. od decimalne točke s desna na lijevo (nulto, prvo, drugo, …)
2. od decimalne točke s lijeva na desno (minus prvo, minus drugo, …)

Mjesna vrijednostodređuje se umnoškom (produktom) elemenata s odgovarajućom potencijom (težinom) – (iz Primjera I.mjesna vrijednost znamenke 1 na trećem mjestu je 1 • 2²= 4)

Binarni način zapisivanja prirodnih brojeva (N)vrši se tako da se nbinarnih znamenaka naniže jedna iza druge, a broj s nbinarnih znamenaka ima vrijednost:

U binarnom sustavu određenim umnošcima potencije broja 2 (težina) i prirodnog broja dobivamo sve prirodne brojeve.

potencije broja dva

2.3. Dekadski brojevni sustav

Dekadski brojevni sustav predstavlja brojevni sustav s bazom 10, što znači da se u tom sustavu koristi 10 znamenaka i to: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. To je svakodnevni brojevni sustav, u široj je upotrebi i poznat je gotovo svima. Vrijednost pojedine znamenke ovisi o položaju u zapisanom broju. Potencije baze broja 10, nazivaju se težineili težinski faktori(…,10²,10¹,10⁰,…). Dekadski kao i binarni sustav ima nazive za pojedine znamenke po njihovim težinama npr.:

Vrijednost brojajednaka je zbroju svih mjesnih vrijednosti (u dekadskom sustavu vrijednost broja jednaka je „tom“ broju).

Brojevna mjestajednaka su eksponentima baze, pa ih stoga nazivamo:

1. od decimalne točke s desna na lijevo (nulto, prvo, drugo, …)
2. od decimalne točke s lijeva na desno (minus prvo, minus drugo, …)

Mjesna vrijednostodređuje se umnoškom (produktom) elemenata s odgovarajućom potencijom (težinom) – (iz Primjera II.mjesna vrijednost znamenke 4 na drugom mjestu je 4 • 10 = 40).

Dekadski način zapisivanja prirodnih brojeva (N)vrši se da se bilo koji prirodan broj (N) koji ima nznamenaka piše tako da se redom naniže ndekadskih znamenaka:

U dekadskom sustavu određenim umnošcima potencije broja 10 (težina) i prirodnog broja dobivamo sve prirodne brojeve.

potencije broja 10

2.4. Oktalni brojevni sustav

Oktalni brojevni sustav predstavlja brojevni sustav s bazom 8, što znači da se u tom sustavu koristi 8 znamenaka i to: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Vrijednost pojedine znamenke ovisi o položaju u zapisanom broju. Za oktalni, kao i za binarni i decimalni svi pojmovi se uvode analogno, pa je stoga i određivanje mjesnih vrijednosti analogno.

Po uzoru na dekadski brojevni sustav može se zamisliti bilo koji brojevni sustav (što vrijedi i za oktalni) s bilo kojim bazom Bi znamenkama. Te znamenke će poprimiti vrijednosti iz skupa: {0,1,2,3,…, B-2, B-1}, odnosno {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

2.5. Heksadecimalni brojevni sustav

Heksadecimalni brojevni sustav predstavlja brojevni sustav s bazom 16, što znači da se u tom sustavu koristi 16 znamenaka i to: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E i F}, gdje su vrijednosti {A, B, C, D, E, F} redom jednake {10, 11, 12, 13, 14, 15}. Vrijednost pojedine znamenke ovisi o položaju u zapisanom broju. Za heksadecimalni kao i za binarni, decimalni i oktalni svi pojmovi se uvode analogno, pa je stoga i određivanje mjesnih vrijednosti analogno.

Po uzoru na dekadski brojevni sustav može se zamisliti bilo koji brojevni sustav (što vrijedi i za heksadecimalni) s bilo kojim bazom Bi znamenkama. Te znamenke će poprimiti vrijednosti iz skupa: {0,1,2,3,…, B-2, B-1}.

2.6. Rezidualni brojevni sustav

Rezidualni brojevni sustav nastao je za potrebe informatičkog sektora iz razloga što je bio potreban brojevni sustav kojim će se smanjiti vrijeme izvođenja aritmetičkih operacija.

Izgleda otprilike ovako:

• ako neki zadani cijeli broj xredom dijelimo prirodni brojevima: m₁, m₂, m₃, …, m_n
• onda dobivamo rezultate (ostatke): r₁, r₂, r₃, …, r_n
• iz toga slijedi da je 0£ r_i< m_igdje je: i= 1, 2, 3, …, n
• i upravo ti ostaci(r) određuju broj xi predstavljaju uređenu n-torku (r₁, r₂, …r_n), odnosno oni su prikaz broja xu RBS sustavu u kojem bazu čine brojevi (m₁, m₂, m₃, …, m_n)

npr.

• ako je m₁= 5, m₂= 4, m₃= 3,
• onda za cijeli broj x= 34 dobivamo ostatke:

• dakle (4, 2, 1) je prikaz broja x= 34
• ali to nije samo prikaz toga broja već i brojeva: 34+k•5•4•3 = 34+k•60, kÎZ, jer će svaki takav broj imati iste ostatke
• za x= 37, i m₁= 5, m₂= 4, m₃= 3, uređena n-torka je: (2, 1, 1)
• zbroj uređenih n-torki je: (4,2,1) + (2,1,1) = (4+2, 2+1, 1+1) = (6,3,2), odnosno 34 + 37 = 71

• isto vrijedi za svaki 71 + k • 60

Iz gore navedenog vidi se da se znamenke rezultata mogu dobivati, istovremeno, paralelno i neovisno o nekim prethodnim znamenkama. RBS brojevni sustav daje značajne uštede vremena u izvođenju aritmetičkih operacija (zbrajanja, oduzimanja i množenja). RBS nije u široj primjeni iz razloga što nije težinski-pozicioni brojevni sustav, a to znači da za dva broja toga sustava nije lako ustvrditi koji je veći ili manji i nije lako odrediti predznak i iz toga proizlazi da u njemu nije lako provesti aritmetičku operaciju dijeljenja.

3. Konverzije brojevnih sustava

3.1.Konverzija u dekadski zapis

Prilikom konverzije u dekadski zapis vrijednost broja se izračunava aritmetičkim operacijama u dekadskom sustavu.

3.1.1. BINARNI u DEKADSKI

3.1.2. OKTALNI u DEKADSKI

3.1.3. HEKSADECIMALNI u DEKADSKI

3.2.Konverzija iz dekadskog zapisa

3.2.1. DEKADSKI u BINARNI

Prilikom pretvorbe iz dekadskog u binarni trebamo razlikovati 2 slučaja:

1. broj je prirodan
2. broj je decimalan (postupak se malo razlikuje)

Kod prevođenja decimalnih brojeva, posebno se prevodi cijeli dio, a posebno decimalni i zatim se zbroje: (13,6875)₁₀= (1101,1011)₂

3.2.2. DEKADSKI u OKTALNI

Postupak pretvorbe iz dekadskog u oktalni sustav postupak je isti kao i kod (dekadskog u binarni) samo što dijelimo, odnosno množimo s bazom 8.

3.2.3. DEKADSKI u HEKSADECIMALNI

Postupak je identičan kao i u prethodna 2 slučaja, samo što se dijeli s bazom 16, da se pritom {10, 11, 12, 13, 14 i 15} redom zamjene sa {A, B, C, D, E, F}.

3.3.Konverzija između binarnog, oktalnog i heksadecimalnog zapisa

3.3.1. BINARNI u OKTALNI

Možemo konvergirati na 2 načina

1. prevedemo binarni broj u dekadski zapis, da bi ga zatim preveli u oktalni zapis
2. (brži način) kako je 8 = 2³znamenke binarnog broja znači binarni broj možemo podijeliti (grupirati) po tribinarne znamenke krenuvši od nultog (krajnjeg desnog) mjesta da bi svaku dobivenu grupu preveli zasebno u oktalni zapis

npr.

(10101111,101)₂= 010|101|111|,101 = (257,5)₈

U ovoj metodi može vam pomoći usporedna tablica pojedinih sustava niže u postu.

3.3.2. BINARNI u HEKSADECIMALNI

Može se također konvergirati na 2 načina, samo što u slučaju heksadecimalnog sustava grupiramo po četiribinarne znamenke, jer je 16 = 2⁴.

3.3.3. OKTALNI u BINARNI

Postupak je obrnut od onoga kod binarnog u oktalni, što znači da sada svaku znamenku oktalnog zapisa prevodimo u binarni na način da svaka znamenka binarnog zapisa bude zapisana s tri bita.

npr.

(3425,24)₈= 011|100|010|101|,010|100 = 3|4|2|5|,2|4 =(111000010101,010100)₂

3.3.4. HEKSADECIMALNI u BINARNI

Postupak isti kao i kod oktalnog u binarni, jedino što svaku znamenku heksadecimalnog zapisa prevodimo u binarni na način da svaka znamenka binarnog zapisa bude zapisana s četiri bita.

npr.

(B1A3,4D)₁₆= 1011|0001|1010|0011|,0100|1101 = (1011000110100011,01001101)₂

3.3.5. OKTALNI u HEKSADECIMALNI

Najlakši i najbrži način je da oktalni zapis pretvorimo u binarni, koji ćemo zatim pretvoriti u heksadecimalni zapis (sve te konvergencije su objašnjene u prethodnim primjerima).

3.3.6. HEKSADECIMALNI u OKTALNI

Pretvorimo heksadecimalni zapis u binarni da bi ga pretvorili u oktalni zapis

4. Osnovne aritmetičke operacije u brojevnim sustavima

4.1. Binarni sustav

4.1.1. ZBRAJANJE U BINARNOM SUSTAVU

Zbrajanje u binarnom sustavu provodi se na identičan način kao i kod dekadskog sustava:

• brojeve potpisujemo jedan ispod drugoga tako da znamenke jedinica, desetica, stotica, … budu točno jedna ispod druge, također i decimalna točka
• zbrajanje se vrši s desna na lijevo
• ako prilikom zbrajanja dva broja vrijednost zbroja prelazi 10, onda se znamenka jedinice piše, a desetica se pribraja znamenkama slijedećeg lijevog stupca („jedan dalje“)

Postoje pravila zbrajanja binarnih znamenaka, a ona glase:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 0i 1 „dalje“ (prijenos u lijevo)
• 1 + 1 + 1 = 1i 1 „dalje“

npr.

11010110

+ 1100101

100111011

101101,011

+ 1010,1011

111000,0001

4.1.2. ODUZIMANJE U BINARNOM SUSTAVU

Oduzimanje u binarnom sustavu se također provodi kao i u dekadskom sustavu.

Pravila zbrajanja binarnih znamenaka:

• 0 – 0 = 0
• 1 – 0 = 1
• 1 – 1 = 0
• 0 – 1 = 1i 1 „dalje“ (oduzima se u slijedećem stupcu)

npr.

110101

- 10011

100010

110011,011

- 101,10

101101,111

Oduzimanje se u binarnom sustavu može svesti na zbrajanje

npr.

110101 – umanjenik

+10011- umanjitelj

?

1. umanjenik i umanjitelj moraju imati jednak broj znamenaka, pa u ovom slučaju umanjitelju lijevo dopišemo još jednu nulu (010011)
2. zatim odredimo komplement umanitelja (0 zamjenimo s 1 i obratno): (010011)®(101100)
3. nastalom komplementu pribrojimo 1

101100 (komplement)

+ 1

101101 (dvojni komplement)

1. dvojni komplement pribrojimo umanjeniku i u rezultatu krajnju lijevu nulu odbacimo

110101

+101101

1100010(razlika)

4.1.3. MNOŽENJE U BINARNOM SUSTAVU

Množenje u binarnom sustavu svodi se na zbrajanje binarnih brojeva.

Pravila množenja binarnih znamenaka:

• 0 · 0 = 0
• 0 · 1 = 0
• 1 · 0 = 0
• 1 · 1 = 1

npr.

101101,01 * 110

10110101

1011010 1

+ 000000 00

100001111,10

4.1.4. DIJELJENJE U BINARNOM SUSTAVU

Dijeljenje se u binarnom sustavu provodi kao i u dekadskom, ali se isto tako svodi na oduzimanje.

npr.

1010001 : 1001 = 1001

-1001

0001001

- 1001

0000

Počinjemo tako da uzmemo znamenku po znamenku djeljenika sve dok ne dobijemo broj veći od djelitelja (u ovom primjeru je tako 1 < 1001, gledamo dalje 10 < 1001, 101 < 1001, 1010 > 1001 pa je 1010 broj s kojim počinjemo.)

4.2.Dekadski sustav

Osnovne aritmetičke operacije (zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje) u dekadskom sustavu provode se na nama već jako dobro poznati način.

4.3. Oktalni i heksadekadski

Osnovne operacije u oktalnom i heksadekadskom sustavu provode se na način da se najprije članovi pretvore u dekadski ili binarni brojevni sustav da bi se zatim rješenje ponovno vratilo u polazni brojevni sustav.

5. Zadaci

1. Na kojem brojevnom mjestu se nalaze podcrtane znamenke:
   1. 1001101₍₂₎
   2. 87401₍₁₀₎
   3. 45A7₍₁₆₎
   4. 1057₍₈₎
2. Odredi težinu podcrtane znamenke:
   1. 1001101₍₂₎
   2. 87401₍₁₀₎
   3. 45A7₍₁₆₎
   4. 1057₍₈₎
3. Izračunaj mjesnu vrijednost podcrtane znamenke:
   1. 1001101₍₂₎
   2. 87401₍₁₀₎
   3. 45A7₍₁₆₎
   4. 1057₍₈₎
4. Odredi vrijednost sljedećih brojeva:
   1. 1001101₍₂₎
   2. 87401₍₁₀₎
   3. 45A7₍₁₆₎
   4. 1057₍₈₎
5. Prevedi u binarni zapis sljedeće brojeve:
   1. 405₍₁₀₎
   2. 71,375₍₁₀₎
   3. 105,46₍₈₎
   4. A59,0C₍₁₆₎
6. Prevedi u dekadski zapis sljedeće brojeve:
   1. 10001110₍₂₎
   2. 11010,0111₍₂₎
   3. 105,46₍₈₎
   4. A59,0C₍₁₆₎
7. Prevedi u oktalni zapis sljedeće brojeve:
   1. 250₍₁₀₎
   2. 31,8125₍₁₀₎
   3. 1101100110,0101₍₂₎
   4. E7,17₍₁₆₎
8. Prevedi u heksadekadski zapis brojeve:
   1. 3336₍₁₀₎
   2. 125,3125₍₁₀₎
   3. 1101100110,0101₍₂₎
   4. 246,1₍₈₎
9. Zbroji binarne brojeve:
   1. 1011011+10010+11+10000=
   2. 101010,011+111,1011+0,001=
10. Oduzmi binarne brojeve (koristeći tablicu oduzimanja i svođenjem na zbrajanje):
    1. 1100011100-11001100=
    2. 1011100,011-111,11011=
11. Pomnoži binarne brojeve:
    1. 100111·1011=
    2. 11,011·110,11=
12. Podijelibinarne brojeve:
    1. 100010 : 10001=
    2. 101101 : 1001=
13. Izračunaj i rezultat zapiši u binarnom, oktalnom, heksadekadskom i dekadskom sustavu:
    1. 105₍₈₎+ 1101011₍₂₎+ 3D₍₁₆₎=
    2. 101₍₂₎+ 101₍₈₎+ 101₍₁₆₎=
    3. 15C₍₁₆₎· 27₍₈₎=

6. Usporedna tablica pojedinih sustava

7. Zaključak

Brojevni sustavi primjenjuju se u praktičnom životu, i to pored dekadskog koriste se sustavi s bazama 12, 24, 60, … (dani, sati, stupnjevi, minute, sekunde, …). Osim primjene brojevnih sustava u praktičnom životu vrlo važna je primjena na području informatike i naravno matematike. U informatici, računalima se zadaju jako veliki „zahtjevi“ u pogledu brzine izvođenja aritmetičkih operacija. Mnogi stručnjaci na tom području problem pokušavaju riješiti na način da poboljšaju brzinu rada računala u hardverskom smislu, što je jako skupo i iziskuje puno vremena. Dok neki stručnjaci pribjegavaju softverskom poboljšanju izvođenja algoritama koji služe izvođenju aritmetičkih operacija. Problem je u tome što se u računalima koriste pozicijski brojevni sustavi (dekadski, binarni, n-arni, …), a za njih je karakteristično to što se za dobivanje neke znamenke rezultata moraju znati sve prethodne znamenke (jedinice, desetice, stotice, …). Kako bi taj problem riješili, stručnjaci su osmislili rezidualni brojevni sustav (RBS), jer se u njemu znamenke rezultata mogu dobiti istovremeno, paralelno i neovisno o nekim prethodnim znamenkama, što nije slučaj kod pozicijskih brojevnih sustava. RBS brojevni sustav daje značajne uštede vremena u izvođenju aritmetičkih operacija, ali nije u široj primjeni iz razloga što nije težinski-pozicioni brojevni sustav, a to znači da se javljaju poteškoće u određivanju; koji je broje veći, a koji manji i koji je predznak broja. Upravo te dvije činjenice imaju za posljedicu da dijeljenje u RBS-u nije jednostavna operacija, što rezultira velikom potrošnjom vremena.

8. Literatura

1. Leo Budin: INFORMATIKA 1 – udžbenik za 1. razred gimnazije, Element, Zagreb, 1996.
2. Abdić: RAČUNALSTVO 1 – udžbenik za strukovne škole, Profil, Zagreb, 1999.
3. Ferišak i dr: OSNOVE INFORMATIKE – udžbenik za srednje usmjereno obrazovanje, Birotehnika, Varaždin, 1981.
4. Serdarušić: INFORMATIKA 1, Profil Komunikacije, Zagreb, 1991.

Povezani postovi

• Dodajte broj Twitter folowera i FeedBurner RSS pretplatnika
• HDonWEB najčitanije u studenom 2010